Stochastik – Evolvierende Netzwerke und nichtlineare dynamische Prozesse

In der AG Wahrscheinlichkeitstheorie werden Netzwerke zur Modellierung komplexer Systeme mit vielen Wechselwirkungen genutzt. Hierbei werden die Interaktionen in komplexen Systemen oftmals in Form von Netzwerken abgebildet, wobei eine Schwierigkeit darin besteht, dass sich die Struktur dieser Netzwerke in Problemen der realen Welt im Laufe der Zeit auf Grund von Wechselwirkungen verändert. Zum einen wirken sich die Prozesse selbst auf die Topologie des Netzwerkes aus, indem Verbindungen wegfallen oder neue Verbindungen geschaffen werden, andererseits hat die Struktur des Netzwerks erhebliche Auswirkung auf den Ablauf der Prozesse. In der AG von Prof. Anita Winter wurden in mehreren DFG-geförderten Projekten analytische und wahrscheinlichkeitstheoretische Methoden entwickelt, die eine mathematisch rigorose Beschreibung beider Effekte ermöglichen. Im Projekt „Evolvierende Pathogen-Phylogenien basierend auf zwei-Level Verzweigung“, das im Rahmen des SPP „Probabilistische Strukturen in der Evolution“ gefördert wurde, wurde hierzu beispielsweise ein Modell zur Beschreibung von Viruspopulationen, die durch Zellteilungsprozesse beeinflusst werden, bereitgestellt, für das insbesondere das Langzeitverhalten zugänglich ist.

In diesem Gebiet wurden nun weitere Forschungsprojekte im Rahmen des Schwerpunktprogramms „Zufällige geometrische System“ begonnen, an dem mit Dr. Anton Klimovsky auch ein Nachwuchswissenschaftler unserer Fakultät mit einem eigenständigen Projekt beteiligt ist.

In der AG zur Angewandten Stochastik wurden im Rahmen einer Beteiligung am SFB „Statistik nichtlinearer dynamischer Prozesse“ verschiedene Forschungsprojekte gefördert. Auch hier bieten ähnliche mathematische Strukturen sowohl Anwendungen auf Probleme der Finanzmathematik wie auch zu Fragen der Hörakustik. In einer neueren Arbeit wurden in der AG nun neue Resultate zur Varianzreduktion in Markov-Ketten gefunden. Varianzreduktionsmethoden spielen als Werkzeug zur Komplexitätsreduktion in simulationsbasierten numerischen Algorithmen wie verschiedenen Monte-Carlo-Methoden eine wichtige Rolle und finden hierüber zahlreiche Anwendungen in der Bayes’schen Statistik und beim maschinellem Lernen.

Fragen zum maschinellen Lernen werden auch in verschiedenen an numerischen Methoden orientierten Arbeitsgruppen der Fakultät, wie den Arbeitsgruppen von Prof. Martin Hutzenthaler aus dem Bereich der Stochastik und der Arbeitsgruppe von Prof. Johannes Kraus aus dem Bereich der Numerik untersucht.