Mathematik

Der Bereich Stochastik umfasst die Statistik und Wahrscheinlichkeitstheorie. Die Forschungsaktivität innerhalb der Wahrscheinlichkeitstheorie konzentriert sich auf die Analyse von komplex wechselwirkenden stochastischen Systemen, welche in der mathematischen Physik und der mathematischen Biologie auftreten.
Ein Forschungsschwerpunkt liegt bei Systemen und Fragen, die durch die mathematische Biologie, insbesondere durch die Evolutionstheorie und Zellbiologie, motiviert sind. Es ist in der Populationsgenetik seit langem bekannt, dass die Entwicklung einer Population, die aus Individuen von verschiedenen Phänotypen besteht, ganz entscheidend von stochastischen Fluktuationen geprägt ist. Zum Beispiel sei die folgende Situation betrachtet: Gegeben seien Populationen von Individuen, die durch einen (biologischen) Typen charakterisiert sind. Die Individuen wandern zufällig in einer gegebenen geographischen Struktur. Außerdem besitzt jedes Individuum eine zufällige Lebenszeit, nach der es aus der Population verschwindet und gegebenenfalls eine zufällige Anzahl von Kindern hinterlässt. Die Größe der Nachkommenschaft hängt von der lokalen Menge an lebenswichtigen Ressourcen sowie von der 
lokalen aktuellen Größe der Populationen ab, welche um die Ressourcen (mit-)konkurrieren. Wir interessieren uns bei solchen Systemen nun dafür, unter welchen Bedingungen an die Parameter des Modells Individuen unterschiedlicher Phänotypen auch nach langer Zeit nebeneinander koexistieren können. Mit dieser Thematik beteiligt sich die Arbeitsgruppe mit einem Projektantrag am DFG-Sonderforschungsbereich/Transregio 12 „Symmetries and Universalities in Mesoscopic systems“. Dies ist ein gemeinsames Forschungsprojekt von Mahematikerinnen und Mathematikern sowie Physikerinnen und Physikern der Universitäten Bochum, Duisburg-Essen, Köln sowie der LMU München. Weiterhin werden in der Arbeitsgruppe die Genealogien der betrachteten Systeme beschrieben, welche die Wechselwirkungen zwischen den Individuen kodierten. Zu diesem Zwecke werden verschiedene topologische Aspekte in Räumen von Bäumen untersucht. Die Arbeitsgruppe ist federführend in der Entwicklung von Werkzeugen der stochastischen Analysis, die es erlauben, reskalierte baumwertige Markovsche Ketten im Grenzübergang unendlich vieler Knoten und mittels Martingalproblemen und Dirichlet-Formen zu studieren. Der Forschungsschwerpunkt innerhalb der mathematischen Statistik liegt im Bereich der nichtparametrischen Statistik und deren Anwendungen. Im Vordergrund steht ein konzeptioneller Approximationsbegriff für die Güte der Anwendung von stochastischen Modellen auf Datensätze. Dieser Approximationsbegriff kann auch auf die Rekonstruktion von phylogenetischen Bäumen aus DNA-Daten angewandt werden. Derzeit gibt es einen Antrag auf einen DFG-Schwerpunkt „Probabilistic aspects of evolution“. Die Arbeitsgruppe plant, sich bei Bewilligung mit einem Antrag daran zu beteiligen. Die Forschungsarbeiten werden in enger internationaler Kooperation (Frankreich, Indien, Israel, Kanada, Singapore) verfolgt.